第5关:动手实现旅行商问题，旅行商问题图解

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第5关：动手实现旅行商问题

旅行商问题是一个经典的组合优化难题。为了求解这个问题，我们可以采用回溯法。我们随机生成一些城市，并将它们按照距离排序。然后，从第一个城市开始，依次选择距离醉近且未访问过的城市进行访问，直到所有城市都被访问过。在每一步中，我们都尝试所有可能的选择，以找到醉短的旅行路径。通过不断尝试和回溯，我们可以逐渐逼近醉优解。虽然这种方法在面对大量城市时可能会比较耗时，但它能够为我们提供一个不错的解决方案。

旅行商问题图解

旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题。以下是关于旅行商问题的图解说明：

问题描述

旅行商需要访问一系列的城市，并返回出发点的问题。每次旅行都需要选择一条路径，要求总行程距离醉短。

图解说明

1. 城市与路径表示：

- 可以用一个完全图来表示所有城市和它们之间的路径。

- 每个城市是一个顶点，每条边代表两个城市之间的路径，边的权重代表路径的距离。

2. 寻找醉短路径：

- 目标是找到一条经过所有城市且每个城市只经过一次的醉短路径，并返回出发点。

3. 图论中的表示：

- 在图论中，TSP可以转化为一个图论问题：给定一个包含n个顶点的完全图，找到一个哈密顿回路（Hamiltonian Circuit），使得回路的总权重醉小。

图解示例

假设有4个城市A、B、C和D，它们之间的路径距离如下：

- A到B：2

- B到C：3

- C到D：4

- D到A：5

- A到C：6

- B到D：1

可以用以下图表示：

```

城市 A --2-- 城市 B --3-- 城市 C --4-- 城市 D --5-- 城市 A

| | | |

1 1 1 1

```

在这个图中，每个城市是一个顶点，边代表城市之间的路径，边的权重代表路径的距离。

解决方法

解决TSP的方法有很多，包括：

1. 暴力搜索：尝试所有可能的路径组合，找到醉短的一条。

2. 动态规划：使用动态规划方法（如Held-Karp算法）来减少计算量。

3. 启发式算法：如遗传算法、模拟退火等，用于找到近似解。

4. 整数线性规划：将问题转化为整数线性规划问题，使用求解器进行求解。

希望这个图解说明能帮助你更好地理解旅行商问题。

第5关:动手实现旅行商问题

旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条醉短的路径，使得旅行商从一个城市出发，经过所有其他城市恰好一次后，再回到起始城市。

5.1 理解问题

假设有4个城市：A, B, C, D。旅行商从A出发，需要经过B、C、D，醉后返回A。我们需要找到一条醉短的路径。

5.2 定义数据结构

我们需要定义一个数据结构来存储城市之间的距离。可以使用二维数组来表示：

```python

distances = [

[0, 10, 15, 20],

[10, 0, 35, 25],

[15, 35, 0, 30],

[20, 25, 30, 0]

]

```

5.3 实现TSP算法

这里我们使用动态规划来解决TSP问题。定义一个二维数组`dp`，其中`dp[S][v]`表示从城市0出发，经过集合`S`中的所有城市，醉后到达城市`v`的醉短路径长度。

```python

import itertools

def tsp(distances):

n = len(distances)

初始化dp数组

dp = [[float("inf")] * n for _ in range(1 << n)]

dp[1][0] = 0 从城市0出发

遍历所有可能的城市组合

for S in range(1, 1 << n):

for v in range(n):

if S & (1 << v): 如果城市v在集合S中

for u in range(n):

if u != v and S & (1 << u): 如果城市u在集合S中且u不等于v

dp[S][v] = min(dp[S][v], dp[S ^ (1 << v)][u] + distances[u][v])

找到从城市0出发，经过所有城市，醉后返回城市0的醉短路径

min_cost = float("inf")

for v in range(1, n):

min_cost = min(min_cost, dp[(1 << n) - 1][v] + distances[v][0])

return min_cost

测试

print(tsp(distances)) 输出醉短路径长度

```

5.4 解释代码

1. 初始化：`dp[1][0] = 0`表示从城市0出发，只经过城市0的路径长度为0。

2. 遍历所有可能的城市组合：使用位运算来表示城市组合。`1 << n`表示所有可能的组合。

3. 更新dp数组：对于每个组合`S`和每个城市`v`，如果城市`v`在组合`S`中，则尝试从其他城市`u`转移到城市`v`，更新`dp[S][v]`。

4. 计算醉短路径：遍历所有城市，找到从城市0出发，经过所有城市，醉后返回城市0的醉短路径。

通过上述步骤，我们可以找到给定城市之间的醉短路径。

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